命題１９
４つの数が比例するならば、第１の数と第４の数から作られた数は第2の数と第３の数から作られた数と等しい。第１の数と第４の数から作られた数が第2の数と第３の数から作られた数と等しいならば、４つの数は比例している。
A､B､C､Dを比例している４つの数とする。つまりAはBに対し同じようにCはDに対するとし、そしてAにDをかけてEをつくとし、BにCをかけてFをつくるとする。
EがFと等しいことをいう。
GをつくるためにAにCをかける。AにCをかけてGをつくり、そしてDをかけてEをつくるから、それゆえに数Aに2つの数CとDをかけてGとEをつくる。それゆえにCはDに対し同じようにGはEに対する。しかしCはDに対し同じようにAはBに対し、それゆえにAはBに対し同じようにGはEに対する。propositionⅦ．１７、（propositionⅤ．１１）
再度、AにCをかけてGをつくり、しかし、さらに、BにCをかけてFをつくるから、それゆえに2つに数AとBにある数CをかけてGとFをつくる。それゆえにAはBに対し同じようにGはFに対する。propositionⅦ．１８
しかしさらにAはBに対し同じようにGはEに対するから、それゆえにGはEに対し同じようにGはFに対する。それゆえにGは数EとFのそれぞれに同じ比をもつ。それゆえにEはFと等しい。（propositionⅤ．１１）、（propositionⅤ．９）
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再度、EはFと等しいとする。
AはBに対し同じようにCはDに対することを言う。
同じ結果で、EはFと等しいから、それゆえにGはEに対し同じようにGはFに対する。（第5巻命題７）
しかしGはEに対し同じようにCはDに対し、そしてGはFに対し同じようにAはBに対し、それゆえにAはBに対し同じようにCはDに対する。propositionⅦ．１７、propositionⅦ．１８、（propositionⅤ．１１）
それゆえに、４つの数が比例するならば、第１の数と第４の数から作られた数は第2の数と第３の数から作られた数と等しい。第１の数と第４の数から作られた数が第2の数と第３の数から作られた数と等しいならば、４つの数は比例している。
証明終了